独解のセンター数１Ａ
みんなが使ってるあの問題集。「解答・解説が丁寧」とか言われてるけど、実際のところ理解に苦しむんだよなぁ。そんな人でも大丈夫！理由の理由までかみ砕いて説明します。主にセンター試験の数学１Ａの問題を題材に、「独力で考えて解ける」手がかりを提供します。
【著者紹介】 江間淳
95年の大学入学当初より家庭教師を始め、１年の夏に15社ほどの会社に登録。冬には10人以上の生徒を受け持ち、好評を得る。それ以来、毎年10人前後、計150人あまりの小中高生、社会人などを受け持つ。主な指導科目は英語、数学、化学、物理。家庭教師の他にも、行政書士試験合格、映像翻訳など様々な分野に取り組んでいる。
【サンプル】
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◇◆ 独解のセンター数１Ａ ◆◇ vol.0 ≪絶対値を含む方程式≫
2011/XX/XX配信
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「独解のセンター数１Ａ」は、数学が苦手な人でも、独力でセンターレベルの
数１Ａの問題が解けるようになることを目指したメルマガです。
まずは自力で解いてみてください。解説は自分の判断を持った上で、
モヤモヤがなくなるまで何度も読み返すと効果的です。それでは問題へ！
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目次 ■問題 → ■解説目次 → ■解説１～６ → ■定理・公式
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■ 問題
2007年センター試験数１Ａより
第１問
[ 1 ] 方程式
２(ｘ－２)^2＝｜３ｘ－５｜ ・・・{1}
を考える。
(1) 方程式{1}の解のうち、ｘ＜５／３を満たす解は
ｘ＝[ア]，[イ]／[ウ]
である。
※分数は(分子)／(分母)、ｘの２乗はｘ^2、マーク部分の□は[ ]、マル１は{1}
で表記しています。
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■ 解説目次
★１ 絶対値は原点からの距離
◆２ 絶対値が５は±５
◆３ 中身が変数なら場合分け
◆４ 聞いてることを答えよう
◆５ 式ができたら解けばいい
◆６ たすきがけの理屈と方法
※解説番号の★は公式・定理など。◆は常に気づいて欲しいよく使う考え方。
●はその他。という使い分けをしています。
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■ 解説
★１ 絶対値は原点からの距離
「絶対値は数字の符号をとったもの」と覚えている人もいるかもしれませんが、
今後のことも考えて、「絶対値は原点からの距離」と覚えておくと良いです。
「５」や「－２」、「－０．１」などの数字は、数直線上の点と考えることが
できます。そして、数直線上のゼロの点、つまり、原点からの距離が絶対値です。
０から５までの距離は５なので、５の絶対値は５。
０から－２までの距離は２なので、－２の絶対値は２。
０から－０．１までの距離は０．１なので、－０．１の絶対値は０．１。
となりますね？まとめると、
☆ 絶対値の中身がプラスなら、そのまま。
☆ 絶対値の中身がマイナスなら、符号を変える。
と言うことができます。
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◆２ 絶対値が５は±５
では、絶対値が５の数は何でしょうか？
５の絶対値は５だったから、絶対値が５の数は５。
一見すると良さそうですが、実は不正解です。
「絶対値は原点からの距離」なので、「絶対値が５の数」を表すのは、
「原点からの距離が５の点」全てです。
原点からの距離が５の点は、数直線上では５だけでなく、－５の点もあるので、
絶対値が５の数は５と－５の２通りあります。
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◆３ 中身が変数なら場合分け
この問題のように、絶対値の中身に変数(ｘなどの文字)が入ってしまった場合は
どうすれば良いでしょうか？
１番の説明の内容を活用します。
☆ 絶対値の中身がプラスなら、そのまま。
☆ 絶対値の中身がマイナスなら、符号を変える。
このように、中身がプラスの場合とマイナスの場合で扱いが違うので、
計算もプラスの場合とマイナスの場合に分ける必要があるのです。
今回の問題では、絶対値の中身は「３ｘ－５」なので、
これがプラスのときは、３ｘ－５≧０すなわちｘ≧５／３
マイナスのときは、３ｘ－５＜０すなわちｘ＜５／３
となります。
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◆４ 聞いてることを答えよう
ここで問題の設定を読み返してみましょう。
「(1) 方程式{1}の解のうち、ｘ＜５／３を満たす解は」・・・とあります。
これは先ほど３番で考えた２通りのうち、マイナスの場合の条件と同じです。
つまり、「ホントはプラスとマイナス両方やるんだけど、ここではマイナスの
場合の解を答えてね！」なんて言ってるのと同じです。
このように、問題の条件を適切に判断して、条件に合う解のみを求め、答える。
という気遣いが必要になることもよくあります。
せっかくバッチリ解けても、聞いてないことを答えてしまっては、正解には
ならないので、いつも気をつけるよう心がけてくださいね！
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◆５ 式ができたら解けばいい
それでは、実際に解いてみましょう。
絶対値の中身がマイナスの場合なので、符号を変えて、絶対値を外します。
{1}より
２(ｘ－２)^2＝－(３ｘ－５)
こうなると、普通の２次方程式です。あとはとにかく解くのみ！
２(ｘ^2－４ｘ＋４)＝－(３ｘ－５)
２ｘ^2－８ｘ＋８＋３ｘ－５＝０ ←移項した
２ｘ^2－５ｘ＋３＝０
ここからは、いわゆる「たすきがけ」ですね。
「たすきがけ」については、次の６番で説明します。
たすきがけが不安な人は、解の公式で解いても構いません。
(ｘ－１)(２ｘ－３)＝０
ｘ＝１，３／２
よって、[ア]＝１，[イ]＝３，[ウ]＝２
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◆６ たすきがけの理屈と方法
２次式は一般的に「ａｘ^2＋ｂｘ＋ｃ」と表すことができます。
２乗の係数のａが１の場合は、中学で習った「足してｂ掛けてｃ」方式で
因数分解することができます。
が、ａが１以外の場合は、「足してｂ掛けてｃ」だけで合わせると、実際に
展開して元に戻した場合に、もとの式と一致しなくなってしまいます。
そこで、高校では、ａが１以外でも因数分解ができるようになる方法の一つ
として「たすきがけ」を習うわけです。
「たすきがけ」も因数分解であることは変わりないので、かっこを外したら
もとの２次式に戻るように数字の組み合わせを考えます。
例えば、先ほどの「(ｘ－１)(２ｘ－３)」は「２ｘ^2－５ｘ＋３」を因数分解
したものです。
逆に、展開し元に戻す場合のことを考えると、ｘの２乗の係数は、かっこの
中の２つのｘの係数の、１と２を掛けたものです。これがａの部分です。
そして、定数項は、かっこの中の２つの定数－１と－３を掛けたものです。
これがｃの部分です。
さらに、かっこの中の文字と数字をお互いに掛けて合計すると、ｂの部分に
なります。
ｘ×(－３)＋２ｘ×(－１)＝－３ｘ－２ｘ＝－５ｘ ですね。
というわけで
＝ → １ －１ ＝ → １ －１ ＝ －２
× ＋ → × ＋ → × ＋
＝ → ２ －３ ＝ → ２ －３ ＝ －３
━━━━━━━━━━ → ━━━━━━━━━━ → ━━━━━━━━━━
２ ３ ＝ －５ → ２ ３ ＝ －５ → ２ ３ ＝ －５
よって、２ｘ^2－５ｘ＋３＝(ｘ－１)(２ｘ－３)
こんなかんじになります。
ちなみに、「たすきがけ」なので、「たすきを掛けるように掛ける」ってことで
イコールの左側は上下を互い違いに掛けます。
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今回取り上げた問題の解説は以上です。理解できましたか？
できた人もできなかった人も、ここでいったん、解説の目次に戻って、解答に
至るためにはどんなことを考えて、何を利用すれば良いのか見直してください。
各小見出しが手がかりとなって、進むべき道がよりはっきり見えるはずです。
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■ 今回の公式・定理・性質など
★ 絶対値は原点からの距離を意味する
★ 絶対値の中身がプラスならそのまま外す
★ 絶対値の中身がマイナスなら符号を変えて外す
★ ａｘ^2＋ｂｘ＋ｃ＝０において、ｘ＝{－ｂ±√(ｂ^2－４ａｃ)}／２ａ
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というわけで、「独解のセンター数１Ａ」サンプル号でした。
今回は2007年の第１問[1]を途中まで取り上げてみました。
txtで、できる限りわかりやすく書いたつもりですが、いかがでしたか？
まずはセンターの過去問を取り上げ、その次の回で関連問題に取り組む。
というスタイルで、１ヶ月で１つ～２つの単元のペースで解説していきます。
ご意見、ご感想、取り上げる問題のリクエストなど、何か気になることが
ありましたら、何でもお気軽にメールしてください。
メルマガで皆さんとお会いできるのを楽しみにしています！
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発行者：ＡＥ個別学習室／プロ家庭教師の江間淳
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mm@a-ema.com
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