江間淳
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【高校数学】読むだけでわかる!センター数学の考え方

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【高校数学】読むだけでわかる!センター数学の考え方

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一般入試で大学受験する人にとって、今や必須とさえ言える大学入試センター試験。理系はもちろん文系にも必要性の高い数学1A2Bの過去問を、イメージ重視かつ論理的に解説します。家庭教師の生徒さんからも「これだけ詳しい説明ならわかります!」と好評です。
2次関数、三角比、確率、命題と集合、軌跡と領域、指数対数、三角関数、微分積分、数列、ベクトルなど。
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著者プロフィール

江間淳

20年以上にわたって多数の生徒を指導してきたプロ家庭教師・翻訳者。「やりなおしの中学英語を完成させる本」「プロ家庭教師・翻訳者が教える高校英語」「10秒でわかる高校数学」などの著者。行政書士、簿記、珠算、書道の資格も持つ。中学~高校時代は、落第しそうになったことも、全国トップレベルの成績を残したこともある。趣味はギター、麻雀、テレビゲームなど。

サンプル号
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【高校数学】読むだけでわかる!センター数学の考え方 vol.0
   ≪大学入試センター試験2013年 数1A 第1問[1]≫    2014/9/XX
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■ 問題

2013年大学入試センター試験数学1Aより

第1問

[ 1 ] A=1/(1+√3+√6),B=1/(1-√3+√6)とする。
  このとき

   AB=1/{(1+√6)^2-[ア]}=(√6-[イ])/[ウ]

  であり、また

   1/A+1/B=[エ]+[オ]√6

  である。以上により

   A+B=([カ]-√6)/[キ]

  となる。

※分数は(分子)/(分母)、マーク部分の□は[ ]で表記しています。

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■ 解説目次

 ◆1 AB=A×B
 ◆2 (a+b)(a-b)=a^2-b^2で有理化
 ◆3 1/A,1/Bは逆数

注:サンプル号では、問題の途中までを掲載します。

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 ◆1 AB=A×B

センター試験第1問[1]は、毎年式の値などの計算問題が出題されています。
少し複雑な計算だったり、絶対値が含まれていたりして、数学初心者には
難しく感じられるものもありますが、大学入試問題としては基本的な問題ばかり
なので、必ず全問正解したい問題です。

2013年は、まずはA,Bの値が与えられていて、ABの値をたずねています。

ABはもちろんA×Bなので、その通りに計算すればOK!

AB={1/(1+√3+√6)}×{1/(1-√3+√6)}
  ={1/(1+√6+√3)}×{1/(1+√6-√3)}
  =1/(1+√6+√3)(1+√6-√3) ←分子同士、分母同士を掛けた
  =1/{(1+√6)^2-(√3)^2}     ←(a+b)(a-b)=a^2-b^2

最初の回答欄は、AB=1/{(1+√6)^2-[ア]}なので、[ア]=3


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 ◆2 (a+b)(a-b)=a^2-b^2で有理化

引き続き計算すると、

  =1/(1+2√6+6-3)
  =1/(4+2√6)

(a+b)(a-b)=a^2-b^2を利用して、分母を有理化すると、

  =(4-2√6)/{(4+2√6)(4-2√6)} ←分子と分母に4-2√6を
  =(4-2√6)/{4^2-(2√6)^2}               掛けた
  =(4-2√6)/(16-24)
  =(4-2√6)/(-8)
  =(√6-2)/4              ←約分した

よって、[イ]=2,[ウ]=4


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 ◆3 1/A,1/Bは逆数

次は「1/A+1/B=[エ]+[オ]√6」とあるので、またまたその通りに
計算してみます。

A=1/(1+√3+√6),B=1/(1-√3+√6)でした。

1/A,1/Bは、それぞれA,Bの逆数なので、
1/A=(1+√3+√6),1/B=(1-√3+√6)となります。

1/A+1/B=(1+√3+√6)+(1-√3+√6)
       =2+2√6

たったこれだけで回答欄とぴったり!

よって、[エ]=2,[オ]=2


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今回取り上げた問題の解説は以上です。理解できましたか?
できた人もできなかった人も、ここでいったん、解説の目次に戻って、解答に
至るためにはどんなことを考えて、何を利用すれば良いのか見直してください。
各小見出しが手がかりとなって、進むべき道がよりはっきり見えるはずです。
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■ 今回の公式・定理・性質など

★ (a+b)(a-b)=a^2-b^2
★ 分母に項が複数あるときの有理化は(a+b)(a-b)=a^2-b^2を利用
★ 1/A,1/BはA,Bの逆数

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